Исследовать функцию на симметричность и периодичность. Общая схема исследования функции и построения графика

Содержание

Полное исследование функции и построение графика

Исследовать функцию на симметричность и периодичность. Общая схема исследования функции и построения графика

  • Нахождение области определения функции.

    Это очень важный шаг исследования функции, так как все дальнейшие действия будут проводиться на области определения.

    В нашем примере нужно найти нули знаменателя и исключить их из области действительных чисел.

    (В других примерах могут быть корни, логарифмы и т.п. Напомним, что в этих случаях область определения ищется следующим образом:
    для корня четной степени, например, – область определения находится из неравенства ;
    для логарифма – область определения находится из неравенства ).

    Перейти к подробному описанию как найти область определения функции…

  • Исследование поведения функции на границе области определения, нахождение вертикальных асимптот.

    На границах области определения функция имеет вертикальные асимптоты, если односторонние пределы функции в этих граничных точках бесконечны.

    В нашем примере граничными точками области определения являются .

    Исследуем поведение функции при приближении к этим точкам слева и справа, для чего найдем односторонние пределы:

    Так как односторонние пределы бесконечны, то прямые являются вертикальными асимптотами графика.

  • Исследование функции на четность или нечетность.

    Функция является четной, если . Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат.

    Функция является нечетной, если . Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.

    Если же ни одно из равенств не выполняется, то перед нами функция общего вида.

    В нашем примере выполняется равенство , следовательно, наша функция четная. Будем учитывать это при построении графика – он будет симметричен относительно оси oy.

  • Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.

    Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.

    Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными.

    Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

    ЗАМЕЧАНИЕ (включать ли критические точки в промежутки возрастания и убывания).

    • Некоторые авторы полагают, что промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и . В этом случае критические точки не включаются в промежутки.
    • Некоторые авторы полагают, что точки, в которых функция определена, а конечной производной не имеет, нужно включать в промежутки возрастания и убывания (например, функция в точке х=0 определена, а производная в этой точке бесконечна , х=0 следует включить в промежуток возрастания функции).
    • По нашему мнению, принципиальной важности это не имеет, хотя и может стать причиной разногласий. Чтобы избежать конфликтов, УТОЧНЯЙТЕ У СВОЕГО ПРЕПОДАВАТЕЛЯ ЕГО ОТНОШЕНИЕ К ВКЛЮЧЕНИЮ КРИТИЧЕСКИХ ТОЧЕК В ПРОМЕЖУТКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ. А еще лучше, ссылайтесь на математическую литературу, рекомендованную министерством образования РФ.

    Мы будем включать критические точки в промежутки возрастания и убывания, если они принадлежат области определения функции.

    Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции

    • во-первых, находим производную;
    • во-вторых, находим критические точки;
    • в-третьих, разбиваем область определения критическими точками на интервалы;
    • в-четвертых, определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «минус» – промежутку убывания.

    Поехали!

    Находим производную на области определения (при возникновении сложностей, смотрите раздел дифференцирование функции, нахождение производной).

    Находим критические точки, для этого:

    • Находим стационарные точки (они же нули числителя): в нашем примере ;
    • Находим нули знаменателя: .

    Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Как вариант, можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке.

    Если значение положительное, то ставим плюсик над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим минус и т.д. К примеру, , следовательно, над первым слева интервалом ставим плюс.

    Делаем вывод:

    • функция возрастает на промежутке и на промежутке ;
    • функция убывает на промежутке и на промежутке .

    Схематично плюсами / минусами отмечены промежутки где производная положительна / отрицательна. Возрастающие / убывающие стрелочки показывают направление возрастания / убывания.

    Точками экстремума функции являются точки, в которых функция определена и проходя через которые производная меняет знак.

    В нашем примере точкой экстремума является точка х=0 . Значение функции в этой точке равно . Так как производная меняет знак с плюса на минус при прохождении через точку х=0 , то (0; 0) является точкой локального максимума. (Если бы производная меняла знак с минуса на плюс, то мы имели бы точку локального минимума).

  • Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.

    Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решениями неравенств и соответственно.

    Иногда вогнутость называют выпуклостью вниз, а выпуклость – выпуклостью вверх.

    Здесь также справедливы замечания, подобные замечаниям из пункта про промежутки возрастания и убывания.

    Таким образом, чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости функции :

    • во-первых, находим вторую производную;
    • во-вторых, находим нули числителя и знаменателя второй производной;
    • в-третьих, разбиваем область определения полученными точками на интервалы;
    • в-четвертых, определяем знак второй производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку вогнутости, знак «минус» – промежутку выпуклости.

    Поехали!

    Находим вторую производную на области определения.

    Далее ищем нули числителя и знаменателя.

    В нашем примере нулей числителя нет, нули знаменателя .

    Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак второй производной внутри каждого полученного промежутка.

    Делаем вывод:

    • функция выпуклая на промежутке ;
    • функция вогнутая на промежутке и на промежутке .

    Точка называется точкой перегиба , если в данной точке существует касательная к графику функции и вторая производная функции меняет знак при прохождении через .

    Другими словами, точками перегиба могут являться точки, проходя через которые вторая производная меняет знак, в самих точках либо равна нулю, либо не существует, но эти точки входят в область определения функции.

    В нашем примере точек перегиба нет, так как вторая производная меняет знак проходя через точки , а они не входят в область определения функции.

  • Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.

    Горизонтальные или наклонные асимптоты следует искать лишь тогда, когда функция определена на бесконечности.

    Наклонные асимптоты ищутся в виде прямых , где и .

    Если k=0 и b не равно бесконечности, то наклонная асимптота станет горизонтальной.

    Кто такие вообще эти асимптоты?

    Это такие линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Таким образом, они очень помогают при построении графика функции.

    Если горизонтальных или наклонных асимптот нет, но функция определена на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, то следует вычислить предел функции на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, чтобы иметь представление о поведении графика функции.

    Для нашего примера

    – горизонтальная асимптота.

    На этом с исследование функции завершается, переходим к построению графика.

  • Вычисляем значения функции в промежуточных точках.

    Для более точного построения графика рекомендуем найти несколько значений функции в промежуточных точках (то есть в любых точках из области определения функции).

    Для нашего примера найдем значения функции в точках х=-2 , х=-1 , х=-3/4 , х=-1/4 . В силу четности функции, эти значения будут совпадать со значениями в точках х=2 , х=1 , х=3/4 , х=1/4.

  • Построение графика.

    Сначала строим асимптоты, наносим точки локальных максимумов и минимумов функции, точки перегиба и промежуточные точки. Для удобства построения графика можно нанести и схематическое обозначение промежутков возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, не зря же мы проводили исследование функции =).

    Осталось провести линии графика через отмеченные точки, приближая к асимптотам и следуя стрелочкам.

    Этим шедевром изобразительного искусства задача полного исследования функции и построения графика закончена.

  • Источник: http://www.cleverstudents.ru/functions/function_researching.html

    Исследование функции и построение графика функции

    Исследовать функцию на симметричность и периодичность. Общая схема исследования функции и построения графика

    Приведем примерный алгоритм получения необходимых данных.

    1.Нахождение области определения функции

    Определение интервалов, на которых функция существует.

    !!! Очень подробно об области определения функций и примеры нахождения области определения тут.

    2.Нули функции

    Для вычисления нулей функции, необходимо приравнять заданную функцию к нулю и решить полученное уравнение. На графике это точки пересечения с осью ОХ.

    3.Четность, нечетность функции

    Функция четная, если y(-x) = y(x). Функция нечетная, если y(-x) = -y(x). Если функция четная – график функции симметричен относительно оси ординат (OY). Если функция нечетная – график функции симметричен относительно начала координат. 

    4.Промежутки знакопостоянства

    Расстановка знаков на каждом из интервалов области определения. Функция положительна на интервале – график расположен выше оси абсцисс. Функция отрицательна – график ниже оси абсцисс. 

    5. Промежутки возрастания и убывания функции

    Для определения вычисляем первую производную, приравниваем ее к нулю. Полученные нули и точки области определения выносим на числовую прямую. Для каждого интервала определяем знак производной. Производная положительна – график функции возрастает, отрицательна – убывает.

    6. Выпуклость, вогнутость

    Вычисляем вторую производную. Находим значения, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Вторая производная положительна – график функции выпукл вверх. Отрицательна – график функции выпукл вниз. 

    Пример исследования функции и построения графика №1

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №2

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №3

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №4

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №5

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №6

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №7

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

     

    Пример исследования функции и построения графика №8

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №9

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №10

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №11

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №12

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №13

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №14

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №15

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №16

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №17

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №18

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №19

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №20

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №21

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №22

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №23

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №24

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №25

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Пример исследования функции и построения графика №26

    Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее график.

    Источник: http://matecos.ru/mat/matematika/issledovanie-funktsii-i-postroenie-grafika-funktsii.html

    Исследование функции и построение графика

    Исследовать функцию на симметричность и периодичность. Общая схема исследования функции и построения графика

    Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2013-11-12

    » СТАТЬИ » ПРОИЗВОДНАЯ » Исследование функции и построение графика

    Построение графика произвольной функции может быть как отдельной задачей, так и вспомогательной – например, при решении уравнений графическим способом, или при решении задач с параметрами.

    Алгоритм исследования функции и построения ее графика таков:

    1.Находим область определения(D(f)) функции .

    2. Если область определения функции симметрична относительно нуля (то есть для любого значения из D(f) значение также принадлежит области определения, то проверяем функцию на четность.

    Если , то функция четная. (Примером четной функции является функция )

    Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY.

    Если , то функция нечетная. (Примером нечетной функции является функция )

    График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

    Если функция является четной или нечетной, то мы можем построить часть ее графика для ,  а затем соответствующим образом отразить ее.

    3.Находим точки пересечения графика с осями координат.

    Находим нули функции – это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (OX).

    Для этого мы решаем уравнение .

    Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью ОХ.

    Находим точку пересечения графика функции с осью ординат (OY). Для этого ищем значение функции при .

    4.Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.

    Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции , нам нужно решить неравенства и .

    5.Находим асимптоты графика функции.

    Краткий экскурс на тему, что такое асимптоты и как их находить читайте здесь.

    6. Если функция периодическая, то находим период функции.

    7. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума.

    Для этого мы следуем привычному алгоритму.

    а) Находим производную

    б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения – это стационарные точки.

    в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции.

    Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции.

    Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.

    Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.

    8. И последний номер наше программы – точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости.

    Подробнее о том, как находить точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости читайте здесь.

    Итак, давайте, для примера, исследуем функцию и построим ее график.

    1. Найдем D(y).

    Сразу отметим, что при знаменатель дроби равен нулю, следовательно, прямые и являются вертикальными асимптотами графика функции .

    2. Исследуем функцию на четность. Область определения функции симметрична относительна нуля (мы выкололи две симметричные точки: и )

    Получили, что , следовательно, функция – нечетная, и график функции симметричен относительно начала координат.

    3. Найдем точки пересечения с осями координат.

    а) Точки пересечения с осью ОХ (y=0)

    б) Точка пересечения с осью ОY (x=0)

    График нашей функции проходит через начало координат.

    4. Найдем промежутки знакопостоянства.

    Решим неравенство

    Воспользуемся методом интервалов.

    Найдем корни числителя и знаменателя, нанесем их на числовую ось и расставим знаки:

    Корень числителя:

    Корни знаменателя: ;

    Расставим знаки:

    Итак, при и

    при и

    5. Найдем асимптоты графика функции .

    Вертикальные асимптоты мы уже нашли в  п.1, это прямые и .

    Уравнение горизонтальной асимптоты функции имеет вид , где

    .

    Степень числителя дроби на единицу больше степени знаменателя, поэтому не существует, и график функции не имеет горизонтальной асимптоты.

    Попробуем найти наклонную асимптоту.

    Уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

    Коэффициенты и вычисляются следующим образом:

    В нашем случае .

    (Степень знаменателя на единицу больше степени числителя).

    То есть уравнение наклонной асимптоты имеет вид .

    Нанесем асимптоты на координатную плоскость:

    6. Найдем промежутки возрастания-убывания функции  и экстремумы.

    а) Найдем производную функции

    б) Приравняем производную к нулю:

    (корень четной кратности); ;

    Корни знаменателя –  – также корни четной кратности.

    В корнях четной кратности производная знак не меняет.

    в) Нанесем нули производной  и корни ее знаменателя на числовую ось, расставим знаки и найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания.

    Итак, мы нашли промежутки возрастания и убывания.

    Найдем значение функции в точках экстремума:

    Заметим, что, поскольку функция нечетная, и мы нашли, что , мы могли бы сразу написать, что

    Итак, отметим в нашей координатной плоскости точки минимума и максимума функции и точку пересечения графика функции с осями координат.

    На рисунке ниже большими красными кружками обозначены точки, через которые проходит график функции.

    Теперь учтем промежутки возрастания-убывания и промежутки знакопостоянства функции (п. 4) и построим  ее график. Помним, что график функции не пересекает абсциссы, он лишь приближается к ним!

    После построения графика необходимо еще раз просмотреть все пункты исследования функции и проверить, соответствует ли полученный график всем пунктам.

    Если наблюдается какое-то несоответствие, то необходимо повторить исследование и найти причину нестыковки графика и поведения функции.

    И.В. Фельдман, репетитор по математике.

    Источник: https://ege-ok.ru/2013/11/12/issledovanie-funktsii-i-postroenie-grafika

    Поделиться:
    Нет комментариев

      Добавить комментарий

      Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.