Как найти силу сопротивления воздуха формула. Сила сопротивления воздуха

9.4. Движение тел в среде с сопротивлением

Как найти силу сопротивления воздуха формула. Сила сопротивления воздуха

Со времен опытов Галилея на Пизанской башне известно, что все тела падают в поле силы тяжести с одинаковым ускорением g.

Однако каждодневная практика указывает на другое: легкое перышко падает медленнее тяжелого металлического шарика. Понятна и причина этого — сопротивление воздуха.

Уравнения движения. Если ограничиться случаем поступательного движения невращающихся тел в неподвижной среде с сопротивлением, то сила сопротивления будет направлена против скорости. В векторном виде ее можно записать как

где — абсолютная величина этой силы, a — модуль скорости тела. Учет сопротивления среды меняет вид уравнений движения тела, брошенного под углом к горизонту:

В приведенных уравнениях учтена также выталкивающая сила Архимеда, действующая на тело: ускорение свободного падения g заменено на меньшую величину

где — плотность среды (для воздуха = 1.29 кг/м3), а — средняя плотность тела.

Действительно, вес тела в среде уменьшается на величину выталкивающей силы Архимеда

Выражая объём тела через его среднюю плотность

приходим к выражению

При наличии сопротивления воздуха скорость падающего тела не может расти безгранично. В пределе она стремится к некоторому установившемуся значению, которое зависит от характеристик тела. Если тело достигло установившейся скорости падения , то из уравнений движения следует, что сила сопротивления равна весу тела (с учётом архимедовой силы):

Сила сопротивления как мы вскоре убедимся, есть функция скорости падения. Стало быть, полученное выражение для силы сопротивления представляет собой уравнение для определения установившейся скорости падения . Ясно, что при наличии среды энергия тела частично расходуется на преодоление её сопротивления.

Число Рейнольдса. Разумеется, уравнения движения тела в жидкости невозможно даже начать решать, пока нам ничего неизвестно о модуле силы сопротивления.

Величина этой силы существенно зависит от характера обтекания тела встречным потоком газа (или жидкости). При малых скоростях этот поток является ламинарным (то есть слоистым).

Его можно представить себе как относительное движение не смешивающихся между собой слоев среды.

Ламинарное течение жидкости демонстрируется на опыте, показанном на рис. 13.

Как уже отмечалось в главе 9.3, при относительном движении слоёв жидкости или газа между этими слоями возникают силы сопротивления движению, которые называются силами внутреннего трения.

Эти силы обусловлены особым свойством текучих тел — вязкостью, которая характеризуется численно коэффициентом вязкости . Приведем характерные значения для различных веществ: для воздуха ( = 1,8·10-5 Па·с), воды ( = 10–3 Па·с), глицерина ( = 0,85 Па·с).

Эквивалентное обозначение единиц, в которых измеряется коэффициент вязкости: Па·с=кг·м–1·с–1.

Между движущимся телом и средой всегда существуют силы сцепления, так что непосредственно вблизи поверхности тела слой газа (жидкости) полностью задерживается, как бы «прилипая» к нему. Он трется о следующий слой, который слегка отстает от тела.

Тот, в свою очередь, испытывает силу трения со стороны еще более удаленного слоя и т.д. Совсем далекие от тела слои можно считать покоящимися.

Теоретический расчет внутреннего трения для движения шарика диаметром D приводит к формуле Стокса:

Подставляя формулу Стокса в выражение для силы сопротивления при установившемся движении, находим выражение для установившейся скорости падения шарика в среде:

Видно, что чем легче тело, тем меньше скорость его падения в атмосфере. Полученное уравнение объясняет нам, почему пушинка падает медленнее,чем стальной шарик.

При решении реальных задач, например, вычислении установившейся скорости падения парашютиста при затяжном прыжке, не следует забывать, что сила трения пропорциональна скорости тела лишь для относительно медленного ламинарного встречного потока воздуха.

При увеличении скорости тела вокруг него возникают воздушные вихри, слои перемешиваются, движение в какой-то момент становится турбулентным, и сила сопротивления резко возрастает.

Внутреннее трение (вязкость) перестает играть сколько бы то ни было заметную роль.

Рис. 9.15 Фотография струи жидкости при переходе от ламинарного течения к турбулентному (число Рейнольдса Re=250)

Возникновение силы сопротивления можно тогда представить себе следующим образом. Пусть тело прошло в среде путь . При силе сопротивления на это затрачивается работа

Если площадь поперечного сечения тела равна , то тело «натолкнется» на частицы, занимающие объем . Полная масса частиц в этом объеме равна · Представим, что эти частицы полностью увлекаются телом, приобретая скорость . Тогда их кинетическая энергия становится равной

Эта энергия не появилась ниоткуда: она создана за счет работы внешних сил по преодолению силы сопротивления. Стало быть, A=К, откуда

Мы видим, что теперь сила сопротивления сильнее зависит от скорости движения, становясь пропорциональной ее второй степени (ср. с формулой Стокса). В отличие от сил внутреннего трения ее часто называют силой динамического лобового сопротивления.

Однако предположение о полном увлечении частиц среды движущимся телом оказывается слишком сильным. В реальности любое тело так или иначе обтекается потоком, что уменьшает силу сопротивления. Принято использовать так называемый коэффициент сопротивленияC, записывая силу лобового сопротивления в виде:

При турбулентном потоке в некотором интервале скоростей C не зависит от скорости движения тела, но зависит от его формы: скажем, для диска он равен единице, а для шара примерно 0,5.

Подставляя формулу для силы лобового сопротивления в выражение для силы сопротивления при установившемся движении, приходим к иному, нежели ранее полученная формула, выражению для установившейся скорости падения шара (при C = 0,5):

Применяя найденную формулу к движению парашютиста весом 100 кг с поперечным размером парашюта 10 м, находим

что соответствует скорости приземления при прыжке без парашюта с высоты 2 м. Видно, что для описания движения парашютиста больше подходит формула, соответствующая турбулентному потоку воздуха.

Выражение для силы сопротивления с коэффициентом сопротивления удобно использовать во всем интервале скоростей.

Поскольку при малых скоростях режим сопротивления меняется, то коэффициент сопротивления в области ламинарного течения и в переходной области к турбулентному течению будет зависеть от скорости тела. Однако прямая зависимость C от невозможна, поскольку коэффициент сопротивления безразмерен.

Значит, он может быть лишь функцией какой-то безразмерной комбинации с участием скорости. Такая комбинация, играющая важную роль в гидро- и аэродинамике, называется числом Рейнольдса (см. тему 1.3).

Число Рейнольдса — это параметр, описывающий смену режима при переходе от ламинарного течения к турбулентному. Таким параметром может служить отношение силы лобового сопротивления к силе внутреннего трения.

Подставляя в формулу для силы сопротивления выражение для площади поперечного сечения шара , убеждаемся, что величина силы лобового сопротивления с точностью до несущественных сейчас числовых факторов определяется выражением

а величина силы внутреннего трения — выражением

Отношение этих двух выражений и есть число Рейнольдса:

Если речь идет не о движении шара, то под D понимается характерный размер системы (скажем, диаметр трубы в задаче о течении жидкости).

По самому смыслу числа Рейнольдса ясно, что при его малых значениях доминируют силы внутреннего трения: вязкость велика и мы имеем дело с ламинарным потоком.

При больших значениях числа Рейнольдса, наоборот, доминируют силы динамического лобового сопротивления и поток становится турбулентным.

Число Рейнольдса имеет огромное значение при моделировании реальных процессов в меньших (лабораторных) масштабах.

Если для двух течений разных размеров числа Рейнольдса одинаковы, то такие течения подобны, и возникающие в них явления могут быть получены одно из другого простым изменением масштаба измерения координат и скоростей.

Поэтому, например, на модели самолета или автомобиля в аэродинамической трубе можно предугадать и изучить процессы, которые возникнут в процессе реальной эксплуатации.

Коэффициент сопротивления. Итак, коэффициент сопротивления в формуле для силы сопротивления зависит от числа Рейнольдса:

Эта зависимость имеет сложный характер, показанный (для шара) на рис. 9.16. Теоретически получить эту кривую трудно, и обычно используют зависимости, экспериментально измеренные для данного тела. Однако возможна качественная ее интерпретация.

Рис. 9.16. Зависимость коэффициента сопротивления от числа Рейнолъдса (римскими цифрами показаны области значений Re; которым соответствуют различные режимы течения воздушного потока)

Область I. Здесь число Рейнольдса очень мало ( 

Источник: https://online.mephi.ru/courses/physics/osnovi_mehaniki/data/lecture/9/p4.html

Сила сопротивления воздуха — Студопедия

Как найти силу сопротивления воздуха формула. Сила сопротивления воздуха

При движении автомобиль преодолевает сопротивление воздуха, которое складывается из нескольких сопротивлений. Передней частью автомобиля воздух сжимается и раздвигается, в то время как в задней части автомобиля создается разрежение, которое вызывает образование завихрений (рис. 6).

Рис. 6. Схема обтекания автомобиля воздухом

Наибольшая часть мощности при преодолении сопротивления воздуха затрачивается на образование воздушных вихрей. Если все сопротивление воздуха принять за 100%, то на образование воздушных вихрей будет приходиться примерно 60%.

Около 25% составляет сопротивление, создаваемое выступающими частями автомобиля (крылья, подножки и т. д.), а также сопротивление, возникающее при прохождении воздуха через радиатор.

Около 15% общего сопротивления воздуха приходится на трение поверхности автомобиля об обтекающие его слои воздуха.

Сопротивление воздуха движению автомобиля тем больше, чем выше его скорость и чем больше его лобовая площадь.

Опытным путем установлено, что сила сопротивления воздуха

где К — коэффициент сопротивления воздуха, который представляет собой силу сопротивления воздуха (в кГ), приходящуюся на 1 м2 лобовой площади автомобиля, движущегося со скоростью 1 м/сек.

Размерность этого коэффициента кГ x сек2/м4; F — лобовая площадь автомобиля, определяемая его проекцией на плоскость, перпендикулярную продольной оси автомобиля, в м2; va — скорость движения автомобиля в м/сек.

Произведение KF принято называть фактором обтекаемости и обозначать W.

Фактор обтекаемости определяет зависимость силы сопротивления воздуха от размеров и формы автомобиля.

Лобовую площадь легкового автомобиля с достаточной степенью точности можно вычислить по формуле

а грузового по формуле

где

В1 — наибольшая ширина автомобиля в м;

На — наибольшая высота автомобиля в м;

В — колея автомобиля в м.

Если скорость автомобиля va взята в км/ч, то

Мощность, необходимая для преодоления сопротивления воздуха,

Для уменьшения сопротивления воздуха движению автомобиля необходимо, чтобы кузов и кабина автомобиля имели как можно меньше острых углов, особенно в задней части, в силу чего наблюдается значительное вихреобразование.

Таблица 1

Значения коэффициента К сопротивления воздуха и величин лобовой площади F

Большое значение для уменьшения сопротивления воздуха имеет правильно выбранный контур автомобиля.

Так, удлинение хвостовой части благоприятно сказывается на снижении фактора обтекаемости.

Значительное влияние на сопротивление воздуха оказывают выступающие из общих контуров автомобиля детали (крылья, колеса, подножки), крепление запасных колес, форма нижней части кузова и др.

Некоторые значения коэффициента сопротивления воздуха и величины лобовой площади

Сила тяжести — главная физическая сила, воздействующая на автомобиль. Сила тяжести всегда устремлена вертикально вниз, при этом она равномерно рассредоточивается по всем осям и колесам транспортного средства. Вес машины давит на поверхность проезжей части, и с увеличением этого веса пропорционально увеличивается сила сцепления колес с дорожным покрытием.

Эта сила особенно заметно действует, когда машина трогается с места, а также при последующем движении ведущих колес. При движении по наклонной дороге сила тяжести распадается на две составляющие.

Одна давит на машину и прижимает ее к поверхности проезжей части, а вторая стремится опрокинуть ее по направлению движения или в поперечном направлении дороги (это зависит от направления уклона).

Чем выше центр тяжести и чем больше угол наклона автомобиля, тем больше опрокидывающая сила, следовательно, выше вероятность опрокидывания.

Помимо силы тяжести и силы опрокидывания на любое транспортное средство оказывает влияние ряд других физических сил, среди которых можно отметить следующие:

  • сила сопротивления качению возникает при трении шины о дорогу и подшипников в колесах;
  • сила сопротивления подъему определяется массой автомобиля и углом подъема;
  • сила инерции покоя, когда автомобиль трогается с места и разгоняется, направлена против движения;
  • сила инерции движения направлена по ходу движения;
  • центробежная сила направлена по радиусу от центра кривой поворота и стремится снести автомобиль с дороги;
  • сила сопротивления воздуха направлена против движения, величина зависит от обтекаемости автомобиля и скорости его движения;
  • сила давления сильного бокового ветра или аэродинамического влияния потоков воздуха от большого обгоняющего или обгоняемого автомобиля стремится снести машину с дороги и зависит от парусности (боковой площади кузова);
  • подъемная сила возникает при движении с большой скоростью от давления потока воздуха, попадающего под передок автомобиля, стремится оторвать колеса от дороги, ухудшая сцепление колес с дорогой и управляемость;
  • сила сноса возникает при заносе задних или сносе передних колес;
  • сила сцепления зависит от нагрузки на ведущие колеса, состояния и качества дорожного покрытия, давления в шинах, скорости, степени износа протектора;
  • сила тяги определяется величиной крутящего момента, переданного от трансмиссии на колеса, вызывает движение автомобиля за счет отталкивания колес от дороги;
  • сила торможения возникает при торможении автомобиля.

Транспортное средство будет двигаться только при условии, что сила тяги превышает силу инерции покоя, но при этом уступает силе сцепления ведущих колес с дорогой.

Если сила тяги ведущих колес автомобиля превышает силу сцепления этих колес с поверхностью проезжей части, то возникает пробуксовывание.

Когда сила сцепления колес с дорожным покрытием превышает тормозную силу, транспортное средство затормаживается, если она меньше тормозной силы — машина скользит «юзом».

Инерция движения позволяет транспортному средству ехать на большой скорости с незначительной подачей топлива (поэтому движение с постоянной скоростью 80–90 км/ч считается самым экономичным), а также на протяжении какого-то времени с отключенным двигателем (это называется «накатом»).

Силе торможения оказывают содействие силы сопротивления качению, подъему, воздуха и центробежная сила. Препятствует процессу торможения сила инерции движения, которая особенно возрастает при движении с уклона.

Во время торможения, а также при движении с уклона сила тяжести перемещается вперед и формирует продольный опрокидывающий момент.

Он создает дополнительную нагрузку на переднюю ось, которую можно использовать для улучшения сцепления с дорожным покрытием на повороте, тормозя двигателем и поворачивая колеса.

Величина центробежной силы определяется скоростью и весом транспортного средства, а также радиусом поворота. Следовательно, добиться уменьшения этой силы можно, снизив скорость движения либо увеличив радиус поворота.

В результате бокового скольжения колес может возникать такое опасное явление, как снос передних и занос задних колес. Это может стать причиной вращения автомобиля вокруг вертикальной оси наподобие волчка. Снос передних и занос задних колес могут возникать по следующим причинам:

  • при движении — разные тяговые силы на колесах;
  • при торможении — разные тормозные силы на колесах одной оси, разные силы сцепления колес с дорогой, неправильное размещение груза относительно продольной оси автомобиля;
  • на повороте — торможение, резкий поворот управляемых колес, сила инерции превышает силу сцепления колес с дорогой.

При заносе автомобиль может опрокинуться по следующим причинам:

Источник: https://studopedia.ru/15_126705_zakreplenie-gruntov.html

Силы сопротивления

Как найти силу сопротивления воздуха формула. Сила сопротивления воздуха

При совершенно любом движении будет фиксироваться появление между поверхностями тел или в среде, где оно осуществляется, сил сопротивления. Второе свойственное им название – силы трения.

Замечание 1

Силы сопротивления могут быть зависимыми от разновидностей трущихся поверхностей, реакций опоры тела, а также его скорости, при условии движения тела в вязкой среде (к примеру, в воздухе или воде).

Расчет сил сопротивления

С целью определения сил сопротивления потребуется применение третьего закона Ньютона. Такая величина, как сила сопротивления, будет численно равной силе, которую потребуется приложить с целью равномерного движения предмета по горизонтальной ровной поверхности. Это становится возможным с помощью динамометра.

Таким образом, искомая величина оказывается прямо пропорциональной массе тела. Стоит при этом учитывать во внимание, что для более точного подсчета потребуется выбрать $u$ коэффициент, зависимый от материала изготовления опоры. Также принимается во внимание материал изготовления самого предмета исследования. При расчете применяется постоянная $g$, чье значение 9,8 $м/с2$.

  • Курсовая работа 490 руб.
  • Реферат 270 руб.
  • Контрольная работа 220 руб.

В условиях движения тела на высоте, на него влияет сила трения воздуха, зависимая от скорости перемещения предмета. Искомую величину определяют на основании такой формулы (подходящей исключительно для тел с передвижением с небольшой скоростью):

$F = va$, где:

  • $v$ – скорость движения предмета,
  • $a$ – коэффициент сопротивления среды.

Разновидности сил сопротивления

Существуют такие разновидности сил сопротивления:

  1. Сила сопротивления качению $P_f$, зависимая от таких факторов, как: разновидности и состояния опорной поверхности, скорости движения, давления воздуха и пр. Коэффициент сопротивления качению $f$ зависеть при этом состояния и типа опорной поверхности. С повышением температуры и давления, указанный коэффициент уменьшается.
  2. Сила сопротивления воздуха (лобовое сопротивление) $Р_в$ возникает за счет разницы давлений. Данный показатель окажется тем выше, чем большим будет вихреобразование как в передней, так и в задней части объекта движения. Величина вихреобразования будет зависеть от формы движущихся тел.

Наиболее значимым будет воздействие на сопротивление движению передней части. Так, при создании закругления в передней и задней части плоскостенной фигуры, сопротивление возможно уменьшить на 72 %. Сила лобового сопротивления $Р_{вл}$ определяется по такой формуле:

$P_{вл} = {c_xpF_в}\frac{v2}{2}$, где:

  • $с_х$– коэффициент лобового сопротивления (обтекаемости);
  • $p$- плотность воздуха;
  • $F_в$ –площадь лобового сопротивления (миделевого сечения) определяется по формуле

Сила сопротивления воздуха ориентирована в направлении, противоположном вектору скорости объекта движения (например, автомобиля). Обычно она рассматривается как сконцентрированная сила, приложенная в отношении точки (центра парусности объекта), не совпадающей при этом с центром массы исследуемого объекта.

Сила сопротивления разгону поступательно движущейся массы объекта, согласно второму закону Ньютона, определяется таким образом:

$Рj = m\frac{dV}{dt}$, где:

  • $m$– масса автомобиля;
  • $\frac{dv}{dt}$ – ускорение центра масс.

Силы сопротивления при больших скоростях

В случае, когда мы имеем дело с малыми скоростями, сопротивление будет зависеть от:

  • вязкости жидкости;
  • скорости движения;
  • линейных размеров тела.

Рассмотрим действие законов трения при больших скоростях. Так, к воздуху и в особенности, к воде законы вязкого трения будут мало применимыми. Даже при наличии таких скоростей, как 1 см/с, они будут пригодными исключительно в отношении тел крошечных размеров (в миллиметрах).

Замечание 2

Сопротивление, которое испытывает ныряющий в воду пловец, ни в коей мере не будет подчиняться действию закона вязкого трения.

При медленном движении жидкость станет плавно обтекать предмет движения. При этом сила сопротивления, которую он будет преодолевать, и окажется силой вязкого трения.

В условиях большой скорости, позади движущегося объекта возникнет уже более сложное движение жидкости. В жидкости начнут то появляться, то исчезать разные струйки, формируя при этом необычные по форме фигуры, вихри, кольца. Таким образом, картина струек будет подвержена постоянным изменениям. Возникновение подобного движения получило название турбулентного.

Турбулентное сопротивление будет зависимым от скорости и размеров предмета не так, как при вязком. Так, оно окажется пропорциональным квадратам скорости и линейных размеров. Вязкость жидкости при подобном движении перестает иметь решающее значение, а определяющим свойством выступает ее плотность. Таким образом, для силы $F$ турбулентного сопротивления справедлива формула:

$F=pv2L2$, где:

  • $v$– скорость движения,
  • $L$– линейные размеры предмета,
  • $p$ – плотность среды.

Источник: https://spravochnick.ru/fizika/ponyatie_sily_v_fizike/sily_soprotivleniya/

Движение тела в поле тяжести с учётом сопротивления воздуха

Как найти силу сопротивления воздуха формула. Сила сопротивления воздуха

Это творческое задание для мастер-класса по информатике для школьников при ДВФУ.Цель задания – выяснить, как изменится траектория тела, если учитывать сопротивление воздуха. Также необходимо ответить на вопрос, будет ли дальность полёта по-прежнему достигать максимального значения при угле бросания в 45°, если учитывать сопротивление воздуха.

В разделе “Аналитическое исследование” изложена теория. Этот раздел можно пропустить, но он должен быть, в основном, понятным для вас, потому что большую часть из этого вы проходили в школе.В разделе “Численное исследование” содержится описание алгоритма, который необходимо реализовать на компьютере.

Алгоритм простой и краткий, поэтому все должны справиться.

Аналитическое исследование

Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке. В начальный момент времени тело массой m находится в начале координат.

Вектор ускорения свободного падения направлен вертикально вниз и имеет координаты (0, –g).
 – вектор начальной скорости. Разложим этот вектор по базису: .

Здесь , где – модуль вектора скорости, – угол бросания.

Запишем второй закон Ньютона: .

Ускорение в каждый момент времени есть (мгновенная) скорость изменения скорости, то есть производная от скорости по времени: .Следовательно, 2-й закон Ньютона можно переписать в следующем виде:
, где – это равнодействующая всех сил, действующая на тело.Так как на тело действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха, то

.

Мы будем рассматривать три случая:

1) Сила сопротивления воздуха равна 0: .

2) Сила сопротивления воздуха противоположно направлена с вектором скорости, и её величина пропорциональна скорости: .
3) Сила сопротивления воздуха противоположно направлена с вектором скорости, и её величина пропорциональна квадрату скорости: . Вначале рассмотрим 1-й случай.

В этом случае , или .

Запишем это равенство в скалярном виде:
Из следует, что (равноускоренное движение).
Так как (r – радиус-вектор), то .
Отсюда .Эта формула есть не что иное, как знакомая вам формула закона движения тела при равноускоренном движении.

Так как , то .

Учитывая, что и, получаем из последнего векторного равенства скалярные равенства:
Проанализируем полученные формулы.
Найдём время полёта тела. Приравняв y к нулю, получим
Дальность полёта равна значению координаты x в момент времени t0:
Из этой формулы следует, что максимальная дальность полёта достигается при .
Теперь найдём уравнение трактории тела. Для этого выразим t через x
 и подставим полученное выражение для t в равенство для y.
Полученная функция y(x) — квадратичная функция, её графиком является парабола, ветви которой направлены вниз.Про движение тела, брошенного под углом к горизонту (без учёта сопротивления воздуха), рассказывается в этом видеоролике. Теперь рассмотрим второй случай: .Второй закон приобретает вид ,
отсюда .
Запишем это равенство в скалярном виде:
Мы получили два линейных дифференциальных уравнения.Первое уравнение имеет решениев чём можно убедиться, подставив данную функцию в уравнение для vx и в начальное условие .
Здесь e = 2,718281828459… — число Эйлера.Второе уравнение имеет решениеТак как ,, то при наличии сопротивления воздуха движение тела стремится к равномерному, в отличие от случая 1, когда скорость неограниченно увеличивается.В следующем видеоролике говорится, что парашютист сначала движется ускоренно, а потом начинает двигаться равномерно (даже до раскрытия парашюта).
Найдём выражения для x и y.
Так как x(0) = 0, y(0) = 0, тоОтсюда
Нам осталось рассмотреть случай 3, когда .Второй закон Ньютона имеет вид

, или.

В скалярном виде это уравнение имеет вид:Это система нелинейных дифференциальных уравнений. Данную систему не удаётся решить в явном виде, поэтому необходимо применять численное моделирование.

Численное исследование

В предыдущем разделе мы увидели, что в первых двух случаях закон движения тела можно получить в явном виде. Однако в третьем случае необходимо решать задачу численно. При помощи численных методов мы получим лишь приближённое решение, но нас вполне устроит и небольшая точность.

(Число π или квадратный корень из 2, кстати, нельзя записать абсолютно точно, поэтому при расчётах берут какое-то конечное число цифр, и этого вполне хватает.)

Будем рассматривать второй случай, когда сила сопротивления воздуха определяется формулой.

Отметим, что при k = 0 получаем первый случай.

Скорость тела подчиняется следующим уравнениям:
В левых частях этих уравнений записаны компоненты ускорения .Напомним, что ускорение есть (мгновенная) скорость изменения скорости, то есть производная от скорости по времени.

В правых частях уравнений записаны компоненты скорости. Таким образом, данные уравнения показывают, как скорость изменения скорости связана со скоростью.

Попробуем найти решения этих уравнений при помощи численных методов.

Для этого введём на временной оси сетку: выберем число и будем рассматривать моменты времени вида :.

Наша задача — приближённо вычислить значенияв узлах сетки.

Заменим в уравнениях ускорение (мгновенную скорость изменения скорости) на среднюю скорость изменения скорости, рассматривая движение тела на промежутке времени :

Теперь подставим полученные аппроксимации в наши уравнения.
ОтсюдаПолученные формулы позволяют нам вычислить значения функций в следующем узле сетки, если известны значения этих функций в предыдущем узле сетки. При помощи описанного метода мы можем получить таблицу приближённых значений компонент скорости.

Как найти закон движения тела, т.е. таблицу приближённых значений координат x(t), y(t)? Аналогично!

ИмеемЗаменив мгновенную скорость на среднюю скорость на промежутке времени , получимОтметим, что в правых частях уравнений можно взять полусумму значений vx (vy) в точках t и t + Δt. Возможно, так точность будет выше.

Отсюда
По этим формулам мы можем вычислить таблицу приближённых значений функций x(t) и y(t) в узлах сетки. Как теперь реализовать полученный алгоритм? Да очень просто!Заведём массивы

vx, vy: array[0..

MAX_N] of extended;

x, y: array[0..MAX_N] of extended;
Значение vx[j] равняется значению функции , для других массивов аналогично.
Теперь остаётся написать цикл, внутри которого мы будем вычислять vx[j+1] через уже вычисленное значение vx[j], и с остальными массивами то же самое. Цикл будет по j от 1 до N.
Не забудьте инициализировать начальные значения vx[0], vy[0], x[0], y[0] по формулам , x0 = 0, y0 = 0.

В Паскале и Си для вычисления синуса и косинуса имеются функции sin(x), cos(x). Обратите внимание, что эти функции принимают аргумент в радианах.

Вам необходимо построить график движения тела при k = 0 и k > 0 и сравнить полученные графики. Графики можно построить в Excel.

Отметим, что расчётные формулы настолько просты, что для вычислений можно использовать один только Excel и даже не использовать язык программирования.

Однако в дальнейшем вам нужно будет решить задачу в CATS, в которой нужно вычислить время и дальность полёта тела, где без языка программирования не обойтись.

Обратите внимание, что вы можете протестировать вашу программу и проверить ваши графики, сравнив результаты вычислений при k = 0 с точными формулами, приведёнными в разделе “Аналитическое исследование”.

Поэкспериментируйте со своей программой. Убедитесь в том, что при отсутствии сопротивления воздуха (k = 0) максимальная дальность полёта при фиксированной начальной скорости достигается при угле в 45°.

А с учётом сопротивления воздуха? При каком угле достигается максимальная дальность полёта?

На рисунке представлены траектории тела при v0 = 10 м/с, α = 45°, g = 9,8 м/с2, m = 1 кг, k = 0 и 1, полученные при помощи численного моделирования при Δt = 0,01.

Здесь вы можете ознакомиться с замечательной работой 10-классников из г. Троицка, представленной на конференции “Старт в науку” в 2011 г. Работа посвящена моделированию движения теннисного шарика, брошенного под углом к горизонту (с учетом сопротивления воздуха). Применяется как численное моделирование, так и натурный эксперимент.

Таким образом, данное творческое задание позволяет познакомиться с методами математического и численного моделирования, которые активно используются на практике, но мало изучаются в школе. К примеру, данные методы использовались при реализации атомного и космического проектов в СССР в середине XX века.

“,”author”:null,”date_published”:null,”lead_image_url”:”https://1.bp.blogspot.com/-CUQV-MK4d3E/UyQvAMaXorI/AAAAAAAAAgU/zir5WA7aWxk/s1600/image047.jpg”,”dek”:null,”next_page_url”:null,”url”:”https://glebgrenkin.blogspot.com/2014/03/blog-post.html”,”domain”:”glebgrenkin.blogspot.com”,”excerpt”:”Это творческое задание для мастер-класса по информатике для школьников при ДВФУ. Цель задания – выяснить, как изменится траектория тела, …”,”word_count”:1192,”direction”:”ltr”,”total_pages”:1,”rendered_pages”:1}

Источник: https://glebgrenkin.blogspot.com/2014/03/blog-post.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.