Совершенные числа. Что такое совершенные числа в математике

Что такое совершенные числа в математике?

Совершенные числа. Что такое совершенные числа в математике

Мы сталкиваемся с числами буквально каждое мгновение нашей земной жизни. Еще у древних греков существовала гематрия (нумерология). Для изображения чисел использовались буквы алфавита.

Каждому имени или написанному слову соответствовало определенное число. На сегодня наука математика достигла очень высокой степени развития. Используемых в различных расчетах чисел так много, что они сведены в определенные группы.

Особое место среди них занимают совершенные числа.

Истоки

В Древней Греции люди сравнивали свойства чисел в соответствии с их именами. Делителям чисел была отведена особая роль в нумерологии. В связи с этим, идеальными (совершенными) числами были те, что равнялись сумме своих делителей. Но, древние греки в состав делителей не включали само число. Чтобы лучше понять, что такое совершенные числа, покажем это на примерах.

Исходя из этого определения, самое меньшее идеальное число – это 6. После него будет 28. Затем 496.

Пифагор считал, что есть особенные числа. Такого же мнения придерживался и Эвклид. Для них эти числа были настолько необыкновенны и специфичны, что они ассоциировали их с мистическими. Таким числам свойственно быть совершенными. Вот, что такое совершенные числа для Пифагора и Эвклида. К ним относились 6 и 28.

Ключ

Математики всегда стремятся при решении задачи с несколькими вариантами решения найти общий ключ для нахождения ответа.

Так, они искали формулу, определяющую идеальное число. Но получалась лишь гипотеза, которую нужно было еще доказать. Представьте себе, уже определив, что такое совершенные числа, математики потратили больше тысячи лет, чтобы определить пятое из них! Спустя 1500 лет оно стало известно.

Очень весомый вклад в расчетах идеальных чисел внесли ученые Ферма и Мерсен (XVII ст.). Они предложили формулу для их вычисления. Благодаря французским математикам и трудам многих других ученых на начало 2018 года количество совершенных чисел достигло 50.

Прогресс

Безусловно, если на открытие совершенного числа, которое по счету было уже пятым, ушло полтора тысячелетия, то сегодня благодаря компьютерам они вычисляются намного быстрее.

Например, открытие 39-го идеального числа пришлось на 2001 год. Оно имеет 4 миллиона знаков. В феврале 2008 года открыли 44-е совершенное число.

В 2010 году – 47-е идеальное, и к 2018 году, как было сказано выше, открыто 50-е число со статусом совершенства.

Есть еще одна интересная особенность. Изучая, что такое совершенные числа, математики сделали открытие – они все четные.

Немного истории

Доподлинно неизвестно, когда впервые были замечены числа, соответствующие идеалу. Однако предполагают, что еще в древнем Египте и Вавилоне они изображались на пальцевом счете.

И нетрудно догадаться, какое совершенное число они изображали. Безусловно, это было 6. До самого пятого века нашей эры сохранялся счет с помощью пальцев.

Для показа числа 6 на руке загибали безымянный палец и выпрямляли остальные.

В Древнем Египте мерой длины служил локоть. Это было равносильно длине двадцати восьми пальцев. А, например, в Древнем Риме был интересный обычай – отводить шестое место на пирах почетным и знатным гостям.

Последователи Пифагора

Последователи Пифагора тоже увлекались идеальными числами. Какое из чисел является совершенным после 28, очень интересовало Евклида (IV в. до н. э.). Он дал ключ к поиску всех идеальных четных чисел. Интерес представляет девятая книга Евклидовых «Начал». Среди его теорем есть та, которая объясняет, что совершенным называется число, обладающее замечательным свойством:

значение р будет равносильно выражению 1+2+4+…+2n, что можно записать как 2n+1-1. Это простое число. Но уже 2np будет совершенным.

Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, нужно рассмотреть все собственные делители числа 2np и подсчитать их сумму.

Это открытие предположительно принадлежит ученикам Пифагора.

Правило Евклида

Кроме того, Евклид доказал: вид четного совершенного числа представлен математически как 2n-1(2n-1). Если n – простое и 2n-1 будет простым.

Правилом Евклида пользовался древнегреческий математик Никомах из Герасы (I-II в.). Он нашел идеальные числа как 6, 28, 496, 8128. Никомах Геразский высказывался об идеальных числах как про очень красивые, но малочисленные математические понятия.

Полторы тысячи лет спустя немецкий ученый Региомонтан (Йоганн Мюллер) открыл пятое совершенное число в математике. Им оказалось 33 550 336.

Дальнейшие поиски математиков

Числа, которые считаются простыми и относятся к ряду 2n-1, носят название – числа Мерсенна. Это название им дано в честь французского математика, жившего в XVII веке. Именно он открыл восьмое совершенное число в 1644 году.

Спустя 250 лет русский ученый математик Первушин И. М. из Пермской губернии нашел девятое идеальное число.

С 1952 года в подобные математические изыскания подключили ЭВМ (электронно-вычислительные машины). Скорость расчетов значительно увеличилась. К примеру, стало известно, что в отличие от первого идеального числа 6, являющегося однозначным, двадцать четвертое имеет в своем арсенале больше чем 12 000 знаков!

История про шахматную доску

Есть одна очень интересная история про шахматную доску, царя и зерна. Однажды царь, будучи восхищенным от игры в шахматы, предложил создателю игры выбрать себе награду.

Тогда мудрец выбрал себе скромную, казалось бы, награду – положить на клетки шахматной доски зерна. Удивил порядок раскладки: на первую клетку 1 зерно, на вторую – 2, третья клетка должна содержать 4, и так заполнить всю доску.

Интересно то, что в последней 64 клетке оказалось 1 199 038 364 791, 120 тонн, что составляет 18 446 744 073 709 551 615 зерен.

Это количество приблизительно в 1800 раз выше мирового урожая пшеницы, собранного за всю человеческую историю.

Если считать массу одного зернышка как 0,065 г, тогда общая масса на шахматной доске будет 1,200 триллиона тонн.

Если бы нужно было построить амбар для хранения такого количества зерна, то его размеры были бы больше горы Эверест: 10 х 10 х 15 (км), а в объемах это составило бы около 1500 км³!

Нумерология

В нумерологии существует такое понятие, как самое совершенное число 108, приносящее успех. Его корни уходят в ведическую культуру. Считается, что если проделать определенное действие ровно 108 раз, то в этом мероприятии будет достигнута определенная ступень совершенства.

Такое мнение связано с устройством человеческой памяти: она разделена на кратковременную и постоянную (внутреннюю). Так вот, именно во внутреннюю память помещаются те понятия, которые человек выполнил 108 раз. Возможно, поэтому четки для молитвы в классическом исполнении содержат именно 108 бусинок.

Так, после прочтения молитвы по полному кругу четок она становится частью постоянной памяти человека.

Мистика и факты

Чтобы понять, является ли число совершенным, необходимо проделывать определенные расчеты. Другого пути нет. И такие числа встречаются редко.

Например, пифагореец Ямблих писал об идеальных числах как о явлении, встречающемся от мириады до мириады мириад, и затем от мириады мириад до мириад мириад мириад и т. д.

Однако в XIX веке были проведены проверочные расчеты, которые показали, что совершенные числа нам встречаются еще реже. Так, от 1020 до 1036 нет никакого совершенного числа, а если следовать Ямблиху, то их должно быть четыре.

Скорее всего, именно трудность нахождения таких чисел послужила поводом к наделению их мистическими свойствами. Хотя, опираясь на библейскую историю, ее исследователи сделали вывод, что мир сотворен действительно прекрасным и совершенным, ибо число дней творения – это 6. А вот человек неидеален, так как сотворен и живет в дне седьмом. Однако его задача – это стремиться к совершенству.

Интересными фактами являются следующие:

  • 8 людей спаслось в Ноевом Ковчеге после всемирного потопа. Также в нем спаслись по семь пар чистых и нечистых животных. Если суммировать всех спасшихся в Ноевом Ковчеге, то выходит число 28, являющееся совершенным.
  • Руки человека – это совершенное орудие. Они имеют 10 пальцев, которые наделены 28 фалангами.
  • Луна совершает околоземные обороты каждые 28 дней.

Пифагорийцы число 6 считали психогоническим. Геометрический символ, соответствующий 6, – это гексаграмма.

При начертании квадрата можно провести в нем диагонали. Тогда несложно будет заметить, что его вершины соединены 6 отрезками. Если то же проделать с кубом, то получится 12 ребер и 16 диагоналей (12 граней, 4 куба). В сумме получится 28.

Аналогичная ситуация будет с тетраэдром, вершины которого соединены 6 ребрами. Восьмиугольник тоже имеет причастность к совершенному числу 28 (20 диагоналей плюс 8 сторон). А семигранная пирамида имеет 7 ребер и 7 сторон основания с 14 диагоналями.

В сумме это число 28.

Интересные расчеты

Итак, совершенным называется число, равное сумме делителей:

1 + 2 + 3 + … + n

Суммируются все делители, которые меньше самого числа.

Каждое идеальное число, кроме 6, – это частичная сумма ряда, состоящего из нечетных чисел в третьей степени: 13 + 33 + 53 + … n³.

Еще одно удивительное свойство этих чисел заключается в следующем: сумма обратных значений делителей, в том числе равного самому числу, всегда будет 2. Например, возьмем 28, тогда 1/1+1/2+ 1/4+1/7+1/14+1/28 = 2.

Как было сказано выше, все числа, которые можно найти с помощью формулы Евклида, будут четные. До сей поры нам не известны нечетные идеальные числа. Безусловно, в последнее время сделан великий прорыв в науке математике и в вопросе совершенных чисел в частности.

Однако проблема изучения этих математических понятий остается открытой.

Если даже и предположить существование нечетного идеального числа, то оно должно будет быть больше чем 10 300 и в минимуме иметь 75 простых делителей, учитывая кратность (9 из них должны быть разными).

Также совершенно непонятно, конечно ли число совершенных чисел или все-таки ограничено?

Все четные совершенные числа равносильны сумме последовательных натуральных чисел. Другими словами, они треугольные.

Числа, которые можно записать в виде 2p – 1, называют числами Мерсенна. У каждого такого числа есть соответствующее совершенное число. То же самое можно сказать наоборот: каждому идеальному числу соответствует число Мерсенна.

Еще одним важным открытием стала связь между двоичностью и совершенством. Если внимательно посмотреть, то мы увидим связь с геометрической прогрессией.

Рядом с совершенными непременно стоит отметить дружественные числа. Это два числа, которым свойственно правило: каждое равносильно сумме делителей второго. Меньшими из них являются 220 и 284.

Пифагорейцам они были знакомы. Им присвоили статус символа дружбы. Следующую пару открыли в 1636 году. Это 17 296 и 18 416.

Эта дружественная пара стала нам известна благодаря французскому юристу и математику Пьеру Ферме.

А вот в 1867 году математический мир потрясла новость от шестнадцатилетнего итальянца Никколо Паганини (тезка известного скрипача), который сообщил о дружественной паре чисел 1184 и 1210. Она ближайшая к 220 и 284. Удивительно, но пару проглядели все именитые математики, занимавшиеся изучением дружественных чисел.

Источник: https://FB.ru/article/371696/chto-takoe-sovershennyie-chisla-v-matematike

Совершенные числа

Совершенные числа. Что такое совершенные числа в математике

Число 6 делится на себя, а также на 1, 2 и 3, и 6 = 1+2+3.Число 28 имеет пять делителей, кроме самого себя: 1, 2, 4, 7 и 14, причем 28= 1+2+4+7+14.

Можно заметить, что далеко не всякое натуральное число равно сумме всехсвоих делителей, отличающихся от этого числа. Числа, которые обладают этимсвойством были названы совершенными. 

Ещё Евклидом(3 в. до н. э.) было указано, что чётные совершенные числа можно получить изформулы: 2p–1 (2p – 1) приусловии, что р и 2p есть числа простые. Таким путёмбыло найдено около 20 чётных совершенных числа. До сих пор неизвестно ни одногонечётного совершенного числа и вопрос о существовании их остаётся открытым.Исследования таких чисел были начаты пифагорейцами, приписывавшими им и ихсочетаниям особый мистический смысл.

Первое самое меньшее совершенное число – это 6 (1 + 2 + 3 = 6).

Может быть, именно поэтому шестое место считалось самым почетным на пирах удревних римлян.

Второе по старшинству совершенное число – это 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28).

В некоторых ученых обществах и академиях полагалось иметь 28 членов. В Римев 1917 г. при выполнении подземных работ обнаружилось помещение одной из древнейшихакадемий: зал и вокруг него 28 кабинетов – как раз по числу членов академии.

По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаютсявсё реже.

Третье совершенное число – 496(1+2+48+16+31+62+124+248 = 496), четвёртое – 8128, пятое – 33 550 336,шестое – 8 589 869 056,седьмое – 137 438 691 328.

Первые четыре совершенные числа: 6,28, 496, 8128 были обнаружены очень давно, 2000 лет назад. Эти числаприведены в Арифметике Никомаха Геразского, древнегреческого философа,математика и теоретика музыки.

Пятое совершенное число было выявлено в 1460 г, около 550 лет тому назад.Это число 33550336 обнаружилнемецкий математик Региомонтан (XV век).

В XVI веке также немецкий ученый Шейбель нашел еще два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. Они соответствуют р = 17 и р = 19.

В начале XXвека были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127).

Вдальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлениемкомпьютеров стали возможными вычисления, превосходившие человеческиевозможности. Пока известно 47 чётных совершенных чисел.

Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами,обратившими внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли каждые 28дней, и утверждавшими, что Бог сотворил мир за 6 дней. В сочинении «Град Божий» Св. Августин высказал мысль о том, что хотя Бог могсотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабыпоразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутреннеприсуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, чтоГосподь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущееза 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным,даже если бы не было сотворения за 6 дней».Лев Николаевич Толстой не раз шутливо”хвастался” тем, что дата его рождения 28 августа (по календарю того времени) является совершеннымчислом. Год рождения Л.Н. Толстого (1828)– тоже интересное число: последние две цифры(28) образуют совершенное число; если обменять местами первые цифры, тополучится 8128 – четвертое совершенное число.

Источник: Википедия

5-6 классам

  • Положительные и отрицательные числа.
  •  Проверьте, умеете ли вы находить пары ВЗАИМНО ОБРАТНЫХ чисел. Это умение пригодится нам при изучении деления обыкновенных дробей.
  • А помнишь ли ты сколько в метре сантиметров? А сколько в миллиметре? Попробуй выразить данные величины в сантиметрах. Для этого зайди СЮДА.
  • А вот ещё упражнение на сравнение чисел. ЗДЕСЬ можно поиграть с компьютером или с друзьями. Выбор за тобой.
  • Потренируйся в решении задач на движение. Составь пары из условия и решения.
  • Проверь свою внимательность, сосчитав треугольники в следующих фигурах. Тебе СЮДА. 
  • Отрицательные числа. Лента времени.

7-9 классам

  • Проверь свою внимательность и отыщи ЗДЕСЬ названия всех четырёхугольников и их элементов.

 10-11 классам

  • Играя, учимся. Известная во всём мире игра “Виселица” поможет вам повторить основные термины и определения стереометрии. Поиграть можно ЗДЕСЬ.

  • Вот еще одно упражнение на закрепление знаний по теме “Степенная функция”. Попробуйте отыскать ПАРЫ “Функция – график”. Удачи!

  • Хотите узнать, кто изобрёл логарифмы. Зайдите СЮДА. 
  •  Соберите формулы сокращённого умножения.

Click here for larger version “,”author”:”Автор: Людмила Геннадиевна”,”date_published”:”2020-05-13T15:03:00.000Z”,”lead_image_url”:”http://2.bp.blogspot.com/-1NUTvOoSm9g/U9DlsxL4FpI/AAAAAAAABQw/pElHL9adk/w1200-h630-p-k-no-nu/%25D0%25A0%25D0%25B8%25D1%2581%25D1%2583%25D0%25BD%25D0%25BE%25D0%25BA12.png”,”dek”:null,”next_page_url”:”http://reshyzadachy.blogspot.com/p/6.html”,”url”:”http://reshyzadachy.blogspot.com/2014/07/blog-post_24.html”,”domain”:”reshyzadachy.blogspot.com”,”excerpt”:”Sovershenny`echisla”,”word_count”:717,”direction”:”ltr”,”total_pages”:2,”pages_rendered”:2}

Источник: http://reshyzadachy.blogspot.com/2014/07/blog-post_24.html

Совершенные числа • Задачи

Совершенные числа. Что такое совершенные числа в математике

В подсказках содержится значительная часть доказательств обоих фактов. Восполним здесь недостающие шаги.

1. Теорема Евклида.

а) Для начала нужно доказать, что сигма-функция действительно мультипликативна.

На самом деле, поскольку каждое натуральное число однозначно раскладывается на простые множители (это утверждение называют основной теоремой арифметики), достаточно доказать, что σ(pq) = σ(p)σ(q), где p и q — различные простые числа. Но довольно очевидно, что в этом случае σ(p) = 1 + p, σ(q) = 1 + q, а σ(pq) = 1 + p + q + pq = (1 + p)(1 + q).

Теперь завершим доказательство первого факта: если простое число имеет вид 2n – 1, то число N = 2n–1(2n – 1) — совершенное.

Для этого достаточно проверить, что σ(N) = 2N (так как сигма-функция — это сумма всех делителей числа, то есть сумма собственных делителей плюс само число). Проверяем: σ(N) = σ(2n–1(2n – 1)) = σ(2n–1)σ(2n – 1) = (1 + 2 + …

 + 2n–1)·((2n – 1) + 1) = (2n – 1)·2n = 2N. Здесь было использовано, что раз 2n – 1 — простое число, то σ(2n – 1) = (2n – 1) + 1 = 2n.

б) Доведем до конца и второе решение. Найдем все собственные делители числа 2n–1(2n – 1). Это 1; степени двойки 2, 22, …, 2n–1; простое число p = 2n – 1; а также делители вида 2m·p, где 1 ≤ m ≤ n – 2.

Суммирование всех делителей тем самым разбивается на подсчет сумм двух геометрических прогрессий. Первая начинается с 1, а вторая — с числа p; у обеих знаменатель равен 2.

По формуле суммы элементов геометрической прогрессии сумма всех элементов первой прогрессии равна 1 + 2 + … + 2n–1 = (2n – 1)/2 – 1 = 2n – 1 (и это равно p).

Вторая прогрессия дает p·(2n–1 – 1)/(2 – 1) = p·(2n–1 – 1). Итого, получается p + p·(2n–1 – 1) = 2n–1·p — то, что надо.

Скорее всего, Евклид не был знаком с сигма-функцией (да и вообще с понятием функции), поэтому его доказательство изложено несколько другим языком и ближе к решению из пункта б). Оно содержится в предложении 36 из IX книги «Начал» и доступно, например, здесь.

2. Теорема Эйлера.

Прежде чем доказывать теорему Эйлера, отметим еще, что если 2n – 1 — простое число Мерсенна, то n также должно быть простым числом.

Дело в том, что если n = km — составное, то 2km – 1  = (2k)m – 1 делится на 2k – 1 (поскольку выражение xm – 1 делится на x – 1, это одна из формул сокращенного умножения).

А это противоречит простоте числа 2n – 1. Обратное утверждение — «если n — простое, то 2n – 1 также простое» — не верно: 211 – 1 = 23·89.

Вернемся к теореме Эйлера. Наша цель — доказать, что любое четное совершенное число имеет вид, полученный еще Евклидом. В подсказке 2 были намечены первые этапы доказательства, и осталось сделать решающий шаг. Из равенства 2k+1·M = σ(m) следует, что m делится на M. Но m делится также и на само себя.

При этом M + m = M + (2k+1 – 1)·M = 2k+1·M = σ(m). Это означает, что у числа m нет других делителей, кроме M и m. Значит, M = 1, а m — простое число, которое имеет вид 2k+1 – 1.

Тогда N = 2k·m = 2k(2k+1 – 1), что и требовалось.

Итак, формулы доказаны. Применим их, чтобы найти какие-нибудь совершенные числа. При n = 2 формула дает 6, а при n = 3 получается 28; это первые два совершенных числа.

По свойству простых чисел Мерсенна, нам нужно подобрать такое простое n, что 2n – 1 будет также простым числом, а составные n можно вообще не рассматривать. При n = 5 получится 2n – 1 = 32 – 1 = 31, это нам подходит. Вот и третье совершенное число — 16·31 = 496.

На всякий случай проверим его совершенность явно. Выпишем все собственные делители 496: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248. Их сумма равна 496, так что всё в порядке. Следующее совершенное число получается при n = 7, это 8128.

Соответствующее простое число Мерсенна равно 27 – 1 = 127, и довольно легко проверить, что оно действительно простое. А вот пятое совершенное число получается при n = 13 и равно 33 550 336. Но проверять его вручную уже очень утомительно (однако это не помешало кому-то открыть его еще в XV веке!).

Источник: https://elementy.ru/problems/186/Sovershennye_chisla

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.